Ученые, внесшие вклад в изучение бинома Ньютона
Интерактивная карта
Это текст внутреннего раздела. Это отличное место для добавления описания любого вида контента, загруженного на сайт. Добавьте полезную информацию, чтобы помочь пользователям и избежать лишних вопросов.
Достижения ученых
Подзаголовок
III в. до н.э.
Евклид
Евклид описал в «Началах» тождества для биномов и апотомов (а + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 , (а − b)^2 = a^2 − 2ab + b^2, которые рассматривались еще в геометрической алгебре пифагорейцев (VI-V вв. до н.э.).
598-626 гг.
Брахмагупта
Индийский ученый Брахмагупта представил в своих работах разложение третьей степени бинома. Индусы интересовались правилом извлечения корней n-й степени и для небольших значений n разработали методы, основанные на разложении разности (а + b) ^n − a^n .
Около 1100 г.
Омар Хайям
В одном из его трактатов есть сведения, о разработанном Хайямом общем приёме извлечения корня любой степени с натуральным показателем "методом индийцев". Омар Хайям писал: «Индусские методы нахождения сторон квадратов и кубов основаны… на знании квадратов девяти чисел 1, 2, …, 9 вместе с их произведениями, образованными при перемножении их друг с другом, двух и трех одновременно. Я написал работу, которая устанавливает корректность этих методов, и … расширил метод для случая 4, 5, 6, … корней [столь высоких, как пожелаете], которого до сих пор не было. Доказательства я дал… чисто арифметические, основанные на арифметике «Элементов» [Евклида]».
В трактате «Трудности арифметики» Омар Хайям описал формулу бинома для натуральных показателей. В Иране треугольник Паскаля именуют Треугольником Хайяма.
1265 г.
Насир Эд-Дин ат-Туси
В его "Трактате о полном четырёхстороннике" тригонометрия впервые была представлена как самостоятельная наука (1260). Ему принадлежит также первое известное нам описание извлечения корня любой степени; оно опирается на правило разложения бинома. Разложение степеней бинома вплоть до n = 12 Насир Эд-Дин ат-Туси выполнил в «Сборнике по арифметике с помощью доски и пыли» (1265). Он пользовался арифметическим треугольником при извлечении корней любой натуральной степени. Сама процедура была техническим новшеством, но не являлась принципиальным открытием.
1275 г.
Ян Хуэй
Трактат "Сюйгу чжайци суаньфа" ("Наследственная давняя коллекция редких методов счисления") - ценное собрание необычных и забытых математических текстов древних учёных, содержит, в частности, 13 видов магических квадратов. Каждая задача рассмотрена с точки зрения логики, числового решения, применения представленного метода для решения других подобных задач.
В этой работе упоминаются Цзя Сянь и Чжу Ши-Цзе, которые знали запись биномиальных коэффициентов в виде таблицы ранее.
1427 г.
Гияс-ад-дин Джамшид ибн Масуд аль-Каши
Аль-Каши написал учебник элементарной математики "Ключ к арифметике". Наряду с десятичными дробями и извлечением корней там приводятся биномиальные коэффициенты и арифметический треугольник. Он распространил геометрические методы Хайяма на решение уравнений 4-й степени
1544 г.
Михаэль Штифель
Штифель в «Курсе арифметики» составил таблицу биномиальных коэффициентов в разложении n-й степени бинома (n ≤ 17). Он знал рекуррентную зависимость, с помощью которой последовательно получал биномиальные коэффициенты и помещал их в таблицу. Штифель использовал их для вычисления дробной части корня n-й степени из целого числа.
1556 г.
Никколо Тарталья
В своем труде «Generale trattato de numeri e misure» (1556—1560) Никколо Тарталья, ознакомившись с работой Штифеля, придал таблице новый вид, где коэффициенты разложения степени бинома расположены вдоль диагонали, соединяющей соответствующие номера строк и столбцов. Треугольник, отсеченный такой диагональю, впоследствии стал известен как треугольник Паскаля. Таблица была нужна Тарталье для нахождения количества существенно различных выпаданий в случае 1, 2, … игральных костей и составлена для n = 1, 8 . В Италии треугольник Паскаля иногда называют «треугольником Тартальи", он описал треугольник почти на век раньше Паскаля.
1664-1665
Исаак Ньютон
Фундаментальным событием в истории математики явилось открытие общего биномиального ряда, к которому в 1664-1665 гг. пришел Исаак Ньютон. В его письме от 13 (23) июня 1676 г., адресованном ученому секретарю Лондонского Королевского общества графу Г. Ольденбургу и предназначенном для Г.В. Лейбница, автор записал общее биномиальное разложение. Впервые предложил формулу которая позволяет выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени, в том числе, отрицательной и дробной.
1665 г.
Блез Паскаль
В «Трактате об арифметическом треугольнике» изложил свойства числа сочетаний. Основной заслугой автора является то, что числа таблицы у него выступают как C n по k с четким изложением их свойств, соотношений членов разностных рядов и биномиальных коэффициентов. Все они снабжены необходимыми доказательствами и обоснованы. Благодаря треугольнику Паскаля, удобно находить биномиальные коэффициенты и описывать формулу бинома Ньютона.
1713
Якоб Бернулли
Якоб Бернулли, известный швейцарский математик и гидравлик, внес основополагающий вклад в теорию вероятностей. Создал доказательство формулы для натурального n. Биномиальное распределение также называют распределением Бернулли. Тесно сотрудничал с основным оппонентом Ньютона - Лейбницем.
1744 г.
Леонард Эйлер
На основе биномиального разложения Ньютона Эйлер вывел теорию бесконечных рядов. Ученый называл биномиальные коэффициенты «характеристиками».
1821 г.
Огюстен Коши
Огюстен Коши повторил выводы рядов для элементарных функций Леонарда Эйлера, установив дополнительно интервал сходимости биномиального ряда.
Ресурсы
Подзаголовок элемента
Вопросы и ответы
Почему формула бинома носит имя И. Ньютона?
Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени, эту формулу изобрел Блез Паскаль. Но позже выяснилось, что около 1664 -1665 года, Исаак Ньютон обобщил формулу для произвольного показателя степени. После чего было принято решение о том, что эта формула будет носить название "бином Ньютона"
Верно ли исторически название «Бином Ньютона»?
Мы считаем, что название не совсем верно, так как формула была известна другим ученым задолго до Ньютона, например Евклиду в 3 в. до нашей эры, Брахмагупте, жившему в 6-7 веках. Однако, формулу бинома, в том виде, который нам всем известен, придумал и опубликовал именно Ньютон. А биномиальные коэффициенты систематизировал в виде треугольника Паскаль. Мы предлагаем называть бином именами этих двух ученых: биномом Паскаля - Ньютона.
Почему в разных странах мира формулу бинома Ньютона называют по-разному?
Считаем, что названия формулы бинома сформировались в разное время и разными людьми, которые стремились отразить достижения своих современников и земляков, внесших вклад в науку.
Бином в виде формул, треугольника или таблиц с коэффициентами носили разные имена. Китайцы называли его "треугольник Хуэя", итальянцы - "Треугольник Тартальи", в Ираке он носил имя Хайяма, во всем мире известен, как треугольник Паскаля. Лейбниц лично оспаривал авторство формулы у Ньютона, поэтому формула иногда упоминается под именами Лейбница-Ньютона. Однако, именно Ньютон сформулировал бином в его известном для нас виде, обобщив труды великих математиков.
Сам И. Ньютон как-то заметил, что не достиг бы своих эпохальных открытий, если бы не стоял на плечах гигантов.
Применение формулы бинома Ньютона в математике и других науках.
Применение формулы бинома Ньютона в математике и других науках:
1. Конечно, задачи возведения в степень n суммы двух слагаемых.
2. Нахождение К-того члена в подобных выражениях.
3. Вычисления суммы биномиальных коэффициентов.
4. Для решения задач на комбинаторику.
5. Для решения задач с множествами.
6. Для решения задач на гидравлику (активно использовал Якоб Бернулли).
7. Для решения задач на подъемную силу винта.
8. Для решения задач на пневматику и физику газов.
9. Для решения задач на динамику в механике.
10. Для решения задач на долговечность и износ материала.
Вообще, бином может быть использован в решении задач со степенными функциями. При изменении подобной величины, происходит ее приращение, то есть возникает двучлен, который в формуле возводится в некоторую степень. Решать такую задачу удобно с помощью бинома. В технике таких задач очень много.
Ресурс: А.Б. Шкарин, А.М. Федянов "Алгебраические задачи в технике"