Треугольник Паскаля
Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего.
Мартин Гарднер
Хронология научной жизни Паскаля
История треугольника Паскаля
Первое упоминание
Считается, что первое упоминание о треугольнике биномиальных коэффициентов встречается в комментариях индийского математика Халаюдхи, которые он оставил о труде другого математика, Пингалы, в 10 веке.
Треугольник Хуэя
Китайцы считают, что изобрел треугольник Ян Хуэй; известно одно из изображений треугольника в его трудах. Они так его и называют: «Треугольник Яна Хуэя».
Признание учеными
Позже китайский математик Чжу Ши-Цзе в своей книге «Яшмовое зеркало четырех элементов» изобразил треугольник коэффициентов.
В 1529 году астроном Петр Апиан изобразил подобный треугольник на титульном листе учебника арифметики. И. Нидем в своей работе воспроизвел треугольник, вид которого был дан Чжу Ши-Цзе.
Треугольник Хайяма
Иранцы считают, что треугольник придумал их земляк, Омар Хайям. Около 1100 года тот описал его в своих исследованиях.
Треугольник Тартальи
Итальянцы также присваивают себе пальму первенства, называя треугольник именем Никколо Тартальи. Тарталья задолго до Паскаля описал треугольник, известно также изображение его в виде таблицы.
Таблицы коэффициентов
Изображали треугольник в виде таблицы и Насир Эд-Дин ат-Туси, который использовал арифметический треугольник при извлечении корней натуральных степеней, и М. Штифель, который создал таблицу коэффициентов бинома. Позже треугольник в своих расчетах использовал Шеубель. Аналогией арифметического треугольника - расположением чисел в виде таблицы - пользовался Ф. Виет.
Треугольник Паскаля
Кстати, сам Паскаль изначально изобразил треугольник также в виде таблицы в своем «Трактате об арифметическом треугольнике». Но его трактат был наиболее содержатель нее, чем упоминания его коллег-предшественников, в нем описаны свойства треугольника и области применения. Именно поэтому мы называем его треугольником Паскаля.
Свойства треугольника Паскаля
Если мы закрасим все четные коэффициенты одним цветом, а нечетные – другим, то мы получим треугольник Серпинского, о котором речь пойдет в следующем разделе проекта.
Треугольник Паскаля бесконечен.
Боковые стороны треугольника состоят из единиц.
Первая диагональ треугольника - расположенные по порядку натуральные числа.
Числа треугольника симметричны относительно вертикальной оси.
В строке с номером n первое и последнее числа равны 1.
В строке с номером nвторое и предпоследнее числа равны .
В строке с номером n третье число равно треугольному числу T (n-1)=n*(n-1)/2 , что также равно сумме номеров предшествующих строк.
В строке с номером n четвёртое число является тетраэдрическим.
В строке с номером n m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту Cnm.
Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи.
Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.
Сумма чисел -й строки треугольника Паскаля равна 2 в степени n.
Все числа в -й строке, кроме единиц, делятся на число тогда и только тогда, когда является простым числом (следствие теоремы Люка).
Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3, 3+1, 3+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.
Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.
Ресурсы, используемые при выполнении данного раздела:
1. Е.А. Малых. Из истории биномиальной теоремы. - "Ярославский педагогический вестник", №3-2010
2. Адресные статьи ru.wikipedia.org/
3. Тарасов Б. Паскаль. (Серия "Жизнь замечательных людей")
4. Успенский В.А. Треугольник Паскаля.- М.:"Наука", 1979 г.
5. Перышкин А. Физика: Учебник для 7 класса. - М.: Дрофа, 2014 г.
7. Канал youtube.com Elena Куликова
8. Канал youtube.com IFO